数学是一门好吃的学科,探寻数学的魅力

来源:科普容和创作发布时间:2020-07-21

自古以来,食物不仅仅是人类物质和能量的来源,同时也是一门高深的学问。

  作为探寻人类与食物之间关系的一门学问,美食学(Gastronomy)本身便是一门多元的学科,其中蕴含了医学、农学、化学、生物、地理,也包括历史、哲学、人类学、心理学、社会学,而大家都喜闻乐见的数学,也与美食有着密不可分的关系。

  数学作为一种极富创造力的学科,从某种意义上来说本身就具有艺术的属性,数学之美与美食之美更是相得益彰。为了让更多读者(吃货)意识到数学的魅力,今天我们就带大家探寻数学中的美食秘籍,为大家揭秘舌尖上的数学。

  

《中华小当家》中,钢棍解师傅就已经懂得运用黄金分割制作烧麦。

思考题:图中AQ:AB = ?

图片来源:动漫《中华小当家》

  快餐:三明治vs汉堡

  美食并不一定需要华丽的摆盘以及繁琐的步骤,日常的美食也可以十分美味,就譬如快餐的代表三明治。三明治备受数学家喜爱,譬如下面这个定理,就被称作三明治定理

  

  

  机智的读者们可能已经发现,这其实就是大学微积分开篇就会提到的夹逼定理或者夹挤定理。而之所以叫它三明治定理,因为三明治形象地表达了这个定理被“夹”起来的特点。

  

米奇精湛的刀工,保证了两片面包片的极限相同,因而两片面包之间的面包片的极限也相同

图片来源:《米奇与魔豆》

  当然,三明治不可能只有面包,根据三明治的官方定义,它是一种在面包中间放置肉、奶酪或蔬菜等食物,加上调味料、酱汁任意搭配在一起的小吃。因此也就有了下面的定理——火腿三明治定理。[1]

  n-维空间中有n个可测的物体(紧集,即闭合且有界的集合),可以用一个(n?1)-维的超平面把它们同时分成测度相等的两部分。

  要理解这条定理,首先需要澄清几个名词:

  ·     测度:简单而言,所谓测度就是把集合映射到非负实数,以此来定义这个集合的大小。严格的数学定义如下:

  

  · 集合X的σ-代数:又称为X的σ-,是X幂集(包含所有X的子集的集合系)的子集合。

  · 超平面:指n-维欧几里得空间中,余维度是1的子空间,或者说是n-维空间中的(n?1)-维子空间。例如平面中的直线,空间中的平面。

  火腿三明治定理可以视为博苏克-乌拉姆定理(任何一个从n-维球面到欧几里得n-维空间的连续函数,都一定把某一对对跖点映射到同一个点)的一个推论。运用到三明治上,即在三维空间中的3个可测的紧集(火腿三明治 =面包+火腿+面包),可以用一个(3?1)-维的超平面(刀片)把它们同时分成测度相等的两部分。

  

图片来源:《卫宫家今天的饭》

  当然,快餐的选择当然不是只有三明治一种,爱吃汉堡的小伙伴也可以在数学中找到自己的最爱——Hamburger moment problem

  

图片来源:《蜡笔小新》

  Hamburger moment problem即Hamburger矩问题,其中的Hamburger指的是德国数学家Hans Ludwig Hamburger(所以这个定理和我们吃的汉堡包好像没啥关系)。要理解这个问题,首先要理解的含义。moment在某些物理学文献中译作动差,用来表示物体的形状。实数域上的连续实函数f(x)相对于实数cn阶矩定义为mn

  

  但实际上矩在概率学领域也应用十分普遍。聪明的读者可能已经发现,如果令c = 0n = 1,取f(x)为概率密度函数,则f(x)相对于值01阶矩等于连续随机变量的数学期望:

  

  进一步,令c = E(x),改变n的值,我们有:

  ·         n = 2,m2定义了方差

  ·         n = 3,m3定义了偏态

  ·         n = 4,m4定义了峰态

  而所谓的矩问题,指的是能有通过一个测度μ的矩序列mn确定该测度。其中

  

  根据μ的支撑集的不同, 矩问题出现了三个比较有名的变种”[2]

  ·         Hamburger 矩问题:μ的支撑集为(?∞, +∞)

  ·         Stieltjes 矩问题:μ的支撑集为 [0,+∞)

  ·         Hausdorff 矩问题:μ的支撑集为有界闭区间

  与其他的矩问题类似,Hamburger矩问题的关键在于μ的矩序列的存在性、唯一性以及其结构(即如何描述μ的集合),文献[2]对此有详细的解释。

  正餐:披萨牛羊大龙虾

  有时候食客们选择快餐并非是出于口味上的偏好,而是别无选择之下的无奈之举。下面就让我们一起走进卖相相对更好(价钱相对更高)的料理,同时发掘其背后隐藏的数学奥秘。

  

图片来源:《海贼王》

  披萨因为可以与大家一起分享,因此成为一种在全世界都颇受欢迎的食物。然而,经常吃披萨的小伙伴们往往会遇到一个难题:如何才能分到更多的披萨?平面几何学中的披萨定理或许可以解决这个难题[3-4]。披萨定理指出,如果以披萨上任意一个指定点为中心,切下n刀,使相邻的两刀隔的角度相同;然后按某个方向顺次为切出的各块交替染上两种颜色,那么有:

  · 当有任意一刀通过圆心或n是大于2的偶数时,两种颜色的面积一样大。

  · 如果任意一刀都不通过圆心,那么:

   n = 1  2,或者n除以43时,包含圆心的部分比较大

  n大于4且除以41时,不包含圆心的部分比较大

  

图片来源:自制

  这个定理可以说明,当两个人在分披萨的时候,如何才能拿到更多。披萨定理的证明并不困难,也没有用到太多超出微积分领域的知识,但步骤之繁琐却远超笔者的想象(甚至可以单独写一篇文章来论述)。下面提供一个n = 4的特例下,不需要公式的证明,定理的完整证明请参见[4]

  

上图为n = 4,即一张披萨切4刀的情况。证明思路基本可以总结为东拼西凑。显然,阴影部分面积和空白部分面积相等。

图片来源:自制

  当然除了披萨之外,牛羊肉也是必不可少的经典美食。显然数学对于牛羊的研究也从未停止过,例如小学数学经典问题/羊吃草问题。不过,今天我们要分享的是另一个经典//马吃草问题。

  

图片来源:《小羊肖恩》

  

图片来源:自制

  图中有一片圆形的草场,圆心为A,半径为r。在草场边缘有一点B,拴着一匹羊(当然如果你喜欢吃牛肉的话就可以栓一头牛)。栓羊的绳子长为R。问当R多长时,才能让羊在草场的一半区域吃草?

  这道题最直接的思路是利用微积分求解。不过如果我们可以引入方程

  

  的解x = 1.9056957293…,我们就完全可以借助初中的知识解答这道题。

  

图片来源:自制

  不失一般性,这里我们假设草场半径r = 1,同时定义以下符号

  

  根据余弦定理可知,

  

  同理

  

  利用小学的几何知识,我们可以很轻易地计算出

  

  将前述的表达式代入

  

  SEDBC = 半个草场的面积 = pi/2,解出R的值即可。这里的问题最终归结为在[0, pi]的范围内求解

  

  也算是唯一超纲的知识点。

  用了这个定理,就能让牛羊在变成美食之前,更加茁壮地成长了。

  

图片来源:《小羊肖恩》

  除了上述食材,海鲜中也有不少美味的食材,譬如接下来我们要介绍的龙虾。龙虾是节肢动物门软甲纲十足目龙虾科下物种的通称,因其味道鲜美而广受大家喜爱。

  

图片来源:《食戟之灵》

  在图论中,有一类特殊的就被称为龙虾图。要了解龙虾图,首先需要理解两个概念。

  ·     图:在图论中,图用于表示物件与物件之间的关系。一张图由顶点(或结点)以及连结这些点的边组成。可以将图G定义为由顶点集V与边集E组成的二元数对 (V, E)。如果给图的每条边规定一个方向,那么得到的图称为有向图。相反,边没有方向的图称为无向图。

  ·     树是一种无向图,其中任意两个顶点间存在唯一一条路径。

  对于一棵树而言,我们可以选其中的一个顶点,并称之为树的根。这样我们就定义了有根树:

  一个有根的树叫做有根树

  为了方便起见,我们同时给出以下定义:

  ·          一条边的两个端点中,靠近根的那个节点叫做另一个节点的父节点。

  ·          两个端点中距离根比较远的那个节点叫做另一个节点的子节点。

  ·          没有子节点的子节点叫做叶节点。

  ·          与某个顶点相关联的边数的总和称为这个顶点的度。

  有了上述名词,我们就可以定义以下两种图:

  ·         毛虫图(毛虫树),指的是图的每一个顶点或者在中心轴上,或者距离中心轴只有一条边。树是毛虫图,当且仅当所有大于等于3度的节点被至多两个大于等于2度的节点包围。

  ·         龙虾图(龙虾树),指的是移除叶节点会留下毛虫图的图。因为形状酷似龙虾,因此有了这个名字。

  

数学家眼中的毛毛虫(上)vs 数学家眼中的龙虾(下)

图片来源:[5-6]

  小食:奶冻香蕉麦乐鸡

  吃完正餐,餐后的小食甜品也是必不可少的。首先为大家介绍的便是著名的法式甜点——奶冻(blancmange)。

  

图片来源:giphy

  上面魔性的动图恰好也体现了法式奶冻的一个重要特点,自相似性。根据这一特性,我们可以推测法式奶冻本身应该具有分型结构。1901年,类域论的开创者高木贞治给出了一个函数[7]

  

  其中s(x)为三角波函数,定义为

  

  这就是著名的法式奶冻曲线。

  

法式奶冻曲线,顾名思义,就是长得跟法式奶冻一样的曲线。与其他分型函数一样,法式奶冻曲线是一种处处连续,但又处处不可微的函数图形。

图片来源:作者自制

  传统上法式奶冻用牛奶或鲜奶油加糖制成,同时加入杏仁增添风味。不过改良后的甜品可以通过加入草莓、香蕉或其他水果来增加风味。说到香蕉,它是芭蕉科芭蕉属植物,不少美味的甜点都离不开香蕉。

  

图片来源:《卑鄙的我》

  在数学中,不时也可以看到香蕉的身影。例如在数学优化理论中,Rosenbrock函数又被人们称为“Rosenbrock香蕉函数,常被人们用来测试最优化算法的性能。Rosenbrock函数被定义为[8]

  

  

图片来源:自制

  函数的等高线大致呈抛物线形,其全局最小值位于香蕉型的山谷中。这个点其实很容易通过肉眼发现,但由于山谷内的值变化不大,要通过算法找到这个最小值还是有些难度的。


利用Rosenbrock函数测试梯度下降法。其中红点表示全局最小值f(x,y) = 0,此时(x,y) = (1,1)。

图片来源:自制

  说罢香甜可口的点心,咸香酥脆的小吃也颇受人们喜爱,譬如麦乐鸡。

  

麦乐鸡的蘸酱都有不少粉丝

图片来源:《瑞克和莫蒂》

  在数学上,硬币问题(又称Frobenius 硬币问题)有一个变种,被称为麦乐鸡(McNugget)数问题”[9],也从侧面反映了麦乐鸡的强大影响力。

  硬币问题是指求仅使用特定面额的硬币无法获得的最大金额。例如,3元硬币和5元硬币无法获得的最大金额是7元(所以几乎没有什么中央银行会发行3元硬币)。这里要求硬币面额的最大公约数为1。用数学语言可以描述为,已知正整数a1a2……an (a1a2……an) = 1。则对于正整数集合{k1k2……kn},求k1a1 + k2a2 + ··· + knan可以组成的数字中最大的那一个。

  硬币问题的一个变种就是所谓的麦乐鸡数问题。已知麦当劳售卖的麦乐鸡有三种规格:6块装、9块装和20块装(这里不考虑开心乐园餐里包含的4块装麦乐鸡),可以用上述三种规格麦乐鸡组成的麦乐鸡块数都被称为麦乐鸡数。麦乐鸡数问题指的是求出最大的非麦乐鸡数,即不能用上述三种规格的麦乐鸡组成的鸡块数。

  如果深究下去,麦乐鸡数问题还有很多角度的性质有待发掘。譬如最大的非麦乐鸡数的存在性问题,麦乐鸡规格数增加对最大非麦乐鸡数的影响等等。不过对于眼前这个问题,我们可以用十分直观的方式来解决。

  

图片来源:自制

  上图中,红色标记的数字是非麦乐鸡数,注意44~49,这六个相连的数字都是麦乐鸡数,所以保证了大于44的数都是麦乐鸡数。因此最大的非麦乐鸡数为43,即点餐时麦乐鸡块数超过43,就一定可以用若干盒6块装、9块装和20块装麦乐鸡组成。

  数学与美食一样,伴随人类走过了漫长的岁月。美食之美,唯有品尝过后才能体会;数学之妙,恐怕也只有走进之后方能发觉。愿诸位看完这则短文,也能体会数学与美食的共通之处。美食不可辜负,数学亦复如是。

  参考文献:

  [1] Beyer, W. A., Zardecki, Andrew (2004), The early history of the ham sandwich theorem, American Mathematical Monthly, 111 (1): 58–61.

  [2] Chihara, T.S. (1978), An Introduction to Orthogonal Polynomials, Gordon and Breach, Science Publishers.

  [3] Upton, L. J. Problem 660. Mathematical Magazine. 1967, 40: 163.

  [4] Mabry, R. and P. Deiermann (2009). Of Cheese and Crust: A Proof of the Pizza Conjecture and Other Tasty Results. American Mathematical Monthly. 116: 423–438.

  [5] Harary, F. and Schwenk, A. J (1973). The Number of Caterpillars. Disc. Math. 6, 359-365.

  [6] Mishra, D., Panigrahi, P. (2016). Some new classes of graceful Lobsters obtained from diameter four trees. Mathematica Bohemica, Vol. 135 (2010), No. 3, 257-278.

  [7] Takagi, Teiji (1901), A Simple Example of the Continuous Function without Derivative, Proc. Phys.-Math. Soc. Jpn., 1: 176–177.

  [8] Rosenbrock, H.H. (1960). An automatic method for finding the greatest or least value of a function. The Computer Journal. 3 (3): 175–184.

  [9] Wah, Anita; Picciotto, Henri (1994). Lesson 5.8 Building-block Numbers. Algebra: Themes, Tools, Concepts. p. 186.

扫码加蝌蚪五线谱微信