用七巧板能拼出多少种图形?

作者:李慧来源:蝌蚪五线谱发布时间:2018-03-01

七巧板是中国十分知名的益智游戏。在19世纪初,来广州从事贸易的欧美商人将一些精美的象牙七巧板带回国。很快,像近代的魔方一样,七巧板就此风靡世界,成为十九世纪世界最流行的智力谜题之一。七巧板的玩法有多少种?用它能拼出多少种图形?敬请期待探索解密。

  用现代语言来概括的说,出入相补原理阐述了这样一个事实:一个平面图形从一处移置他处,面积不变。又若把图形分割成若干块,那么各部分面积之和等于原来图形的面积,因而图形移置前后,诸面积间的和、差有简单的相等关系。立体的情形也是这样。

 

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  再用浅显易懂的现代数学原理来剖析一下:把七巧板中的小正方形边长定为1,则各块所有边长只有4个数值:1,√2,2,2√2,构成一个等比数列。所有的角只有3个值:45°,90°,135°,构成一个等差数列;而且其中任何两个角的和、差,如果不计180°平角,大于180°的角减去180°,则仍是这三个角之一。

  正是这些特点,使得简单的七个图形可以拼成多达1600种以上的形状。

  日本数学家大约在上世纪20年代提出一个问题:七巧板可以拼成多少个凸多边形?不久之后,浙江大学的两位数学教师在《美国数学月刊》上发表了论文,结论指出:能拼成的凸多边形只有13个。他们的成果得到数学界的赞扬。七巧板可以拼成多少个五边形?这个问题由美国学者解决,结论是18个。

  有两个关于七巧板的小计算问题如下:

  问题1:如果一副七巧板的总面积是16,那么其中每一块的面积各是多少?

  其答案很容易算出:七块小板的面积分别是4,4,2,2,2,1,1。容易看出,用七巧板中两块面积为1的小板可以拼成任何一块面积为2的小板;用其中任何一块面积为2的小板和两块面积为1的小板可以拼成一块面积为4的小板。

 

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  问题2:上图所示的七巧板人物造型——三个人,一个在踢球,一个在溜冰,还有一个在跳藏族舞蹈,各有各的乐趣。这三个七巧板人物的头部面积与全身面积之比各是多少?

  图中表现人物头部的是一块正方形小板,面积为2;而每个人物图形都是由一副七巧板拼成的,七块小板面积的总和是16。所以在每个人物图中,头部面积与全身面积的比都是1比8。

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